数量关系易错点合集之容斥问题

　　今天我们来带着大家一起来梳理数量关系里面的易错点之容斥问题。

　　易错点一：容斥问题识别难。

　　容斥问题是一类计数问题，但计数时必须要注意不能多数也不能少数，也就是说既要保证去除重复的部分，又要保证没有遗漏。在国省考当中常出现的容斥问题有二集合和三集合两种。所谓的集合指得是在题干中出现的拥有共同属性的一类元素的统称，二集合即指两个集合会出现交叉重叠的情况，比如说麦当劳和肯德基属于两个不同的快餐店，那们他们将代表两个不同的集合，如果出现“都…”或者“都不…”等字眼时，我们就可以判定是在考察容斥问题，然后可以通过设未知数，代入推导出的集合公式进行求解。接下来我们将带着大家一起来看一下变型的二集合容斥问题是如何考察的。

　　【例1】某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?

　　A.12 B.14

　　C.15 D.29

　　【解析】分析题目，问穿黑色上衣黑裤子的人数，当中涉及到黑上衣、黑裤子两件不同的衣服，这两件同穿的情况即问题所求，都不满足的情况即为穿白上衣蓝裤子，有相容又有相斥情况存在，因此属于两集合容斥问题。设穿黑衣黑裤的有x人，根据二集合计算公式：总人数=黑衣+黑裤-黑衣黑裤+白衣蓝裤，可得60=29+34-x+12，解得x=15。因此，选择C选项。

　　易错点二：三集合题型区分难。

　　三集合容斥类问题考察相对较为复杂，题干当中涉及到的三个集合，各个集合之间都会出现交叉重叠的情况，它的题型分为两种：标准型和非标准型。如何进行区分呢?其实标准型是指题干在给出信息条件时，“满足两个条件”的情况数中包含了“三者都满足“的数据，大家换一种理解方式就是，题干所给的数据会很齐全，比如A∩B，B∩C，A∩C都会给出具体的数据，遇到这种题目我们统统可判定为标准型三集合容斥问题，解题公式为：总人数-都不满足的情况=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。

　　非标准型与其不同，题干当中会给出“只满足两个条件“的数据，其中不包含“三个条件都满足”的情况，因此在解题时用到的公式也不一样，总人数-都不满足的情况=A+B+C-满足两个条件-2×A∩B∩C。接下来我们将通过真题练习一下：

　　【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?

　　A.15 B.16

　　C.17 D.18

　　【解析】本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。按照三集合容斥标准型公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾数法计算)。因此，正确答案为D选项。

　　【例2】某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人，那么，这次共发放了多少份问卷?

　　A.370 B.380

　　C.390 D.400

　　【解析】本题考查容斥问题，属于三集合容斥问题非标准题型。根据公式：总数=A+B+C-满足两种情况的-2×满足三种条件，可知回收的问卷数=180+200+100-20-2×50=360(份)。已知问卷回收率为90%，则发放的问卷数应该是360÷90%=400(份)。因此，选择D选项。