极值问题之一元二次函数求极值

　　极值问题是一类经常出现的考点，考查颇为灵活。其中，利用一元二次函数求极值的题目较为典型。提到一元二次函数大家应该都不陌生，我们都知道其函数图像为一条抛物线，且开口可能向上也可能向下，当开口向上时，函数有极小值；当开口向下时，函数有极大值。

　　但不管是哪种情况，函数总是对称的，所以必然会在对称轴位置处取得极值。那么对称轴怎么求呢?我们可以令函数等于0，得到函数图像与x轴的两个交点，利用函数图像的对称性，找到两个交点的正中间值，即为对称轴的位置。下面让我们来一起做两道题加深一下理解：

　　例1、厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本是168元，销售定价为238元，一位买家向该厂家预定了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所能获得的最大利润是(    )元。

　　A.17920

　　B.13920

　　C.10000

　　D.8400

　　【解析】C。由题目所给信息，我们知道所求为总利润的最大值。又因为总利润=单件利润×销售量，所以需要把单件的利润以及销售量分别表示出来。具体来看，每一件产品的利润为238-168=70(元)，售价每降低2元，利润也会跟着降低2元，所以在这不妨假设售价降低了x个2元，对应单件的利润应表示为(70-2x)元；原销售量为120件，并且售价每降低2元，销售量就会增加8件，因此销售量应表示为(120+8x)件。故总利润为(70-2x)×(120+8x)元。所求为最大利润，即这个函数的极大值。

　　在这里我们可以利用一元二次函数图像的对称性来求解，先让函数的值等于0，即令：(70-2x)×(120+8x)=0，解得：x1=35或x2=-15。由其对称性可知，x1和x2必关于对称轴对称，换言之，函数图像的对称轴正好位于x1和x2的正中间，即函数的对称轴为X=[35+(-15)]/2=10也就是说当x=10时，能获得最大利润。代入原函数，最大利润为(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元)，故选C。

　　例2、某木苗公司准备出售一批木苗，如果每株以4元出售，可卖20万株，若木苗单价每提高0.4元，就会少卖10000株。那么，在最佳定价的情况下，该公司的最大收入是多少万元？

　　A.30

　　B.60

　　C.90

　　D.100

　　【解析】C。题目所求为最大收入，而收入=单价×销售量，因此我们需要把单价和销售量分别表示出来。先来看单价，单价为4元，设提高了x个0.4元，则单价=(4+0.4x)元;销售量为20万株，单价每提高0.4元，销售量便减少1万株，所以销售量=(20-x)万株。

　　因此收入=(4+0.4x)×(20-x)万元，所求的收入最大值就是求这个一元二次函数的极大值。可以利用函数的对称性来求解。令：(4+0.4x)×(20-x)=0，解得x1=-10或x2=20，由其对称性可知，x1和x2必关于对称轴对称，则函数的对称轴为X=[20+(-10)]/2=5，即当x=5时，收入最大，最大收入为(4+0.4×5)×(20-5)=90(万元)，故选C。

　　以上就是关于一元二次函数求极值的题目，希望大家能够借助上述题目把这个知识点搞懂、吃透。