相同元素要分堆 巧用隔板来拆招

　　在行测考试中，排列组合属于比较常见的题型，其考查难度也让很多考生望而生畏。但其中的一些特殊题型，只要掌握好方法就能够轻松应对。比如相同元素进行分堆的题型，具有特殊的解题模型，我们称之为隔板模型。

 

　　一、什么是隔板模型

 

　　隔板模型的本质是讨论相同元素不同分堆的情况数。把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少1个元素，问有多少种不同分法。

 

　　二、隔板模型的条件

 

　　这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

 

　　①所要分的元素必须完全相同;

 

　　②所要分的元素必须分完，不允许有剩余;

 

　　③每个对象至少分到1个。

 

　　例1.有12个相同的篮球，分给5个班级，每个班级至少一个，有多少种分配方案?

 

　　A.350 B.340 C.330 D.360

 

　　【答案】C。解析：由题干信息可知，①12个篮球完全相同;②篮球要全部分给5个班级，没有剩余;③每个班级至少一个;因此该题目符合隔板模型的所有条件，即可以将本题视作求12个相同的元素分成5堆，每堆至少一个的情况数。可以考虑将12个相同元素一字排开。想要将元素分成5堆，分析可知需要4个隔板。而对应能够放置隔板的位置，只有元素之间的空隙，如下图所示：

 

　　因此可以放置隔板的位置一共有11个。所以只需在11个位置中任选4个放置隔板即可。且位置一旦选定，交换隔板顺序不会对结果造成影响，所以情况数为，选C。

 

　　三、隔板模型的解题原则与公式

 

　　由上题可以总结得出，把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少1个元素，这类问题可以看作用隔板把n个相同元素分成m堆，每堆至少1个元素。则分成m堆就需要m-1个隔板，而可以放置隔板的位置只有n个元素的两两之间，即n-1个位置。所以情况数为种。

 

　　例2.把20台相同的电脑分给8个部门，每个部门至少2台，问共有几种分法?

 

　　A.165 B.330 C.792 D.1485

 

　　【答案】B。解析：由题干信息可知，①20台电脑完全相同;②电脑要全部分给8个部门，没有剩余;③每个部门至少2台;观察可得此题不满足隔板模型的第3个条件，但是仍可以利用隔板模型的解题技巧，只是需要先通过转换使之满足。即先给每个部门分1台，此时还剩下12台，这12台要分给8个部门且每个部门必须满足至少分到1台，利用公式，有种分法。

 

　　以上就是我们利用隔板模型解决相同元素分堆的原则与技巧，希望大家能够学会并合理运用，轻松的解决这类问题并把握住分数，取得一个好成绩！